교류의 표현(최대값 / 평균값 / 실효값 RMS), 페이저란?

교류의 표현(최대값 / 평균값 / 실효값 RMS), 페이저란?

발전기에 의한 교류의 발생
- 자석이 회전함에 따라 자기장이 발생하고 자기장이 코일에서 전류를 생성한다.

1. 단상 발전기
한 상으로 이루어진 발전기로 자기장이 발생하면 90° 차이로 전류가 발생함을 볼 수 있다.
E = dΦ/dt - 전류는 시간에 따른 자속에 변화로 생성

단상발전기 교류전류 발생

2. 3상 발전기
3상으로 이루어진 발전기로 120° 위상차로 교류 전류를 발생시킴을 볼 수 있다.

3상발전기 교류전류 발생

교류의 표현(ex전류)

최대값, 실효값, 평균값

최대값(Peak)
- 말 그대로 교류 전류 값 중 최대치(Im)

평균값(Mean)
- 전류값의 절대값을 한주기동안 적분하고 한주기만큼 시간으로 나눠주어 평균낸 값
평균값 = (1/T)·∫|i(t)|dt = 0.637Im = 최대값의 0.637배

실효값(RMS(Root Mean Square))
- 실제의 일에 개입(유효)하는 양 = 직류값
실효값 = (1/T)·∫(i(t))^2 dt 의 제곱근 = 0.707Im = 최대값의 0.707배 = 최대값/√2


실효값의 의미
실효값 = (1/T)·∫(i(t))^2 dt 의 제곱근 - 이 공식은 어떻게 나왔나?


직류에서 사용한 전력은 그 자체가 다 일하는 값이다. 직류에서 사용한 전력 = (i^2)·R 이다.

교류회로에서는 전류값이 커졌다 작아졌다 반복하므로 교류에서의 전력은 적분을 통해 구해주어야 한다.
교류에서 사용한 전력 = (1/T)·∫(i(t))^2 ·R dt -> (i^2)·R을 T시간만큼 적분 후 T시간으로 나눠서 전력을 구한다.

이 때 (직류에서 사용한 전력 = 교류에서 사용한 전력) 을 충족시키는 i값을 실효값이라 부르는 거다.(당연히 같은 회로인데 전원만 직류, 교류로 다른)
(i^2)·R = (1/T)·∫(i(t))^2 ·R dt 을 충족하는 i를 구하면 실효값인 (1/T)·∫(i(t))^2 dt 의 제곱근 이다.

다시 말하면
직류는 그 자체가 다 일하는값, 교류는 커졌다 작아졌다, 양수였다 음수였다 반복하므로 전부다 일이라고 할 수 없는데 그 값을 같게 두고 유효한 v 혹은 i 를 구함으로써 교류값을 유효한 한 값으로 표현했다고 할 수 있다. 그게 실효값이다.

이런 방식으로 실효값이 구해진 것을 간단히 이해하고,대부분의 상황에서는 실효값을 사용하므로 최대값과 실효값의 루트2배 관계만 파악하여 간단히 사용하면 된다.

+다시정리
yyxx.tistory.com/132

3. 교류 전류 표현 이해 (최대값, 평균값, 실효값)

페이저란 무엇인가?
교류에서는 전압과 전류가 시간에 따라 변하는데
이 시간적으로 변하는 양을 -> '크기'와 '위상'으로 표현하는 복소수다.

교류전압의 페이저표현

'시간 영역'을 -> '주파수 영역'으로 가져와서 해석




왜 굳이 시간영역을 주파수 영역으로 가져와서 해석할까?
예를 들어 시간에 따라 변화하는 두 교류 전압값을 계산한다고 해보자.
V1(t) = 10√2 sin(wt-30˚), V2(t) = 10√2 sin(wt+45˚)
두 전압의 합성값을 계산하려면 복잡한 수학식을 풀어야 돼서 고생을 하게 된다.

그러나 페이저를 사용하면
V1(t) = 10∠-30˚, V2(t) = 10∠45˚ 로 간단히 표현하여 쉽게 계산할 수 있다.




그러면 교류의 페이저 변환 방법을 알아보자.

교류전류의 페이저 변환

오른쪽의 교류 전류값 i(t)=√2 Isin(wt+θ)을 페이저로 옮기면 왼쪽과 같이 된다.

페이저도

페이저도의 원에서 반지름으로 표현된 값은 i(t)의 실효값인 I이고, 각도는 θ가 된다.
그러면 삼각함수를 이용하여 실수측 값과 허수축 값을 구할 수 있다.
이 실수측값과 허수측값을
복소수로 표현하면 i = I(cosθ+jsinθ)
극좌표로 표현하면 i = I∠θ


복소평면에서 페이저를 살펴보자.

복소평면 페이저

① 실수측으로 1만큼이고 각도가 0이므로 1∠0 이다.
② 허수측으로 1만큼이고 각도가 90이므로 1∠90 = -j 이다.
③ 실수측으로 -1만큼이고 각도가 180이므로 1∠180 = j^2 = -1 이다.
④ 허수측으로 -1만큼이고 각도가 270이므로 1∠270 = -j 이다.

0˚에서 시작해 90˚씩 θ값이 커지는게 j를 곱해나가는 것과 같음을 알 수 있다.
j -> 90˚ 앞서게 하는 연산자라고 할 수 있다.
참고로 a = 120˚ 앞서게 하는 연산자이다.

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6. 교류 전류를 페이저(Phasor)로 나타내기.